分散の基本的性質
\[V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)\]
共分散公式と分散公式
\[Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\]
期待値の基本的性質
\[E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)\]
期待値・分散・共分散などの定義
\[E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)dx\]
2重根号
\[\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)\]
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}\]
2項係数の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}\]
2項係数の微分
\[\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)\]
2項係数の逆数の差分
\[C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)\]
ディクソンの等式
\[\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}\]
2項係数の2乗和
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)\]
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[ \sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)\]
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)\]
2項係数の総和
\[\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}\]
パスカルの法則
\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)\]
2項係数の1項間漸化式
\[ C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)\]
ガンマ関数の極限問題
\[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}\]
ガンマ関数の半整数値
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数の微分
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)\]
ガンマ関数の1/2値
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[ \Gamma(n+1)=n!\]
ガンマ関数の漸化式
\[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\]
積分問題
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx\]