数列の極限での大小関係
\[a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}\]
偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i}\]
連続関数の和・積・商
連続関数同士の合成関数は連続
\[\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x_{0}\right)\right)\]
数列・関数の和・積・商・スカラー倍の極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab\]
リーマン・ルベーグの定理
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)e^{ikx}dx=0\]
無限級数の項別積分と項別微分
\[\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx\]
極限と積分・微分の順序変更
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx\]
連続な関数列の一様収束極限は連続関数
各点収束するが一様収束しない例
各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[\text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束}\]
実数列では一様収束と一様コーシー列は同値
一様コーシー列・一様収束列の定義と性質
\[\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon\]
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義と性質
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\]
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\]
級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[\forall x\in I,0\leq f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\Rightarrow\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in I}g\left(x\right)\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right)\]
極限と上極限・下極限との関係
\[\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[\sup_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases}c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\0 & c=0\end{cases}\]