解析学 – 野村数学研究所

2020年11月11日

中央2項係数の総和

\[ \sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \]

2020年9月30日

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi} \]

2020年9月29日

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1 \]

2020年9月28日

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

2020年9月27日

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2} \]

2020年9月26日

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta \]

2020年9月25日

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta \]

2020年9月24日

\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]

2020年8月12日

\[ \sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right) \]

2020年8月11日

\[ \log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n} \]