ガウス積分の応用
\[
\int_{0}^{\infty}x^{\gamma}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{1+\gamma}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}+1\right)
\]
カテゴリー: ガウス積分
ガウス積分の一般化
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)
\]
ガウス積分
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\]
フレネル積分の級数表示
\[
\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)}
\]
フレネル積分の一般化
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a}
\]
フレネル積分の値
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}
\]
フレネル積分の定義
\[
S\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx
\]