超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
\[F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)\]
基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)\]
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義
超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解
\[x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0\]
合流型超幾何微分方程式の解
\[xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}\]