像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
\[\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)\]
集合列と像・逆像の極限と存在性
極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限らない。
上極限集合の和集合と下極限集合の積集合
\[\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n}\]
上極限集合と下極限集合の包含関係
\[\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\]
単調増加列・単調減少列の極限集合
\[A_{n}\nearrow_{n\in\mathbb{N}}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\]
上極限集合・下極限集合・極限集合の補集合
\[\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\]
上極限集合と下極限集合の定義
\[\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\]