点と集合との分離の定義と性質
位相的に識別可能の定義
T3・T4空間の同値な条件
T1空間と同値な条件
T1空間と単集合が閉集合は同値となる。
有限位相での分離公理(離散・距離・T4・T3・T2・T1・T0)同士の関係
T2・T1・T0空間同士の関係
T0・T1・T2・T3・T4空間の部分位相
(*)分離公理(距離・正規・正則・T2・T1・T0・その他)同士の関係
\[\text{距離空間}\Rightarrow\text{正規空間}\Rightarrow\text{正則空間}\Rightarrow T_{2}\text{空間}\Rightarrow T_{1}\text{空間}\Rightarrow T_{0}\text{空間}\]
分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則・正規・その他)の定義
積位相(直積位相)と直積空間の定義と性質
包含写像・射影・商写像は連続写像
有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結
連結成分・弧状連結成分が互いに素
連結成分・弧状連結成分と開集合・閉集合の関係
連結成分・弧状連結成分は最大の連結部分集合・弧状連結部分集合
櫛(くし)空間と位相幾何学者の正弦曲線の定義
\[\begin{cases}A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\} \end{cases}\]
局所連結・局所弧状連結の定義
連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義
位相空間での中間値の定理
弧状連結と連結の関係
弧状連結ならば連結。
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。
連結・弧状連結の連続写像による像・逆像
連結・弧状連結な部分集合の連続写像による像は連結・弧状連結となる。