4元数のパウリ表示
\[e_{k}=-i\sigma_{k}\]
パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[\begin{cases}\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}\end{cases}\]
パウリ行列の定義と性質
\[\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}\]
エルミート形式・2次形式
\[f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}\]
恒等的に成り立つ行列
\[A=B\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}\]
直交射影行列の定義と性質
\[P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}\]
射影行列
\[P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\]
行列を挟んでいる場合の解
\[XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}\]
Woodburyの恒等式
\[\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[C=\left(\begin{array}{cccccc}x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}\end{array}\right)\]
行列の定値性(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)の定義と性質
\[0<\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \]
グラム行列の定義と性質
\[G\left(A\right)=A^{*}A\]
行列式と行・列の入れ替え
\[\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\]
ケーリー・ハミルトンの定理
\[p_{A}\left(A\right)=O\]
正方行列は3角行列と相似
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[A=S+T\]