チェビシェフ多項式の級数表示
\[T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)\]
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)\]
チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)\]
チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right)\]