全順序集合での順序写像・順序単射と全単射
有向集合と有向点列の定義
\[\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c\]
分子に対数、分母に2次式の定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{2}+1}dx=?\]\[\int_{0}^{\infty}\frac{\log^{2}x}{x^{2}+1}dx=?\]
黒い帽子が2つと白い帽子が3つ、自分の帽子の色は？
ヤコビアン予想の反例
集合族演算の補集合と分配法則
\[\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\]
集合族の添え字集合が空集合
\[\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset\]
集合族の和集合・積集合の定義
\[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]
和集合・積集合から成り立つ関係
\[A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c}\]
集合の演算その他
\[A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B\]
対称差集合の演算
\[A\bigtriangleup B=A^{c}\bigtriangleup B^{c}\]
差集合の演算
\[\left(A\setminus B\right)\setminus C=A\setminus\left(B\cup C\right)\]
否定包含関係を含む式
\begin{align*}A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset\end{align*}
等号なし包含関係を含む式
\[A\subsetneq B\Rightarrow A\subseteq B\]
包含関係を含む式
\[A\subseteq A\cup B\]
量化子と集合
\[\forall x\in X,x\in A\Leftrightarrow A=X\]
空集合と全体集合を含む集合演算
\[A\cup A^{c}=X\]
集合の演算の基本
\[A\cup\left(A^{c}\cap B\right)=A\cup B\]
集合の演算の定義
\[A\cup B=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\} \]
不等号の同値な条件
\[\forall n\in\mathbb{N},x\leq y\leftrightarrow x-\frac{1}{n}<y\]
4元数のパウリ表示
\[e_{k}=-i\sigma_{k}\]
パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[\begin{cases}\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}\end{cases}\]
パウリ行列の定義と性質
\[\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}\]
フロベニウス内積の定義
\[\left\langle A,B\right\rangle :=\tr\left(A^{*}B\right)\]
1次独立であることと同値な条件
\[\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\text{が1次独立}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\text{が1次独立}\land a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \]
ジョルダン標準形の例
ジョルダン細胞のべき乗と指数関数
\[\left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j}\]
ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
\[J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda\end{array}\right)\]