カテゴリー: 数学
有向集合と有向点列の定義
\[
\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c
\]
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[
\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と和集合
\[
\forall x\in A\cup B,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in B,P\left(x\right)\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合と命題変数
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
広義固有空間と広義固有ベクトルの定義
\[
\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)=\ker\left(\left(A-\lambda_{k}I\right)^{n_{k}}\right)
\]
エルミート形式・2次形式
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}
\]
恒等的に成り立つ行列
\[
A=B\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}
\]
直交射影行列の定義と性質
\[
P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}
\]
射影行列
\[
P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}
\]
核・像・次元の性質
\[
\ker A^{*}=\left(\im A\right)^{\perp}
\]
直交直和分解定理
\[
W=X_{1}\oplus X_{2}
\]
バナッハ空間の例
\[
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}=\left(\sum_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}
\]
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
\[
\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)
\]
ノルムの同値性の定義と性質
\[
c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}
\]
ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\]
ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon
\]
行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
階数・像・核と線形写像・行列との関係
\[
\rank A=\dim\im A
\]
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]
行列の定値性(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)の定義と性質
\[
0<\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle
\]
グラム行列の定義と性質
\[
G\left(A\right)=A^{*}A
\]
ヒルベルト空間の凸射影定理と直交射影定理
\[
H=A\oplus A^{\perp}
\]
直交補空間の性質
\[
\left(X+Y\right)^{\perp}=X^{\perp}\cap Y^{\perp}
\]
行列式と行・列の入れ替え
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]