カテゴリー: 数学
有向集合と有向点列の定義
\[
\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c
\]
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[
\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と和集合
\[
\forall x\in A\cup B,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in B,P\left(x\right)\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合と命題変数
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
標準エルミート内積と標準内積
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}
\]
0ベクトルとの内積
\[
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0
\]
パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]
バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。
直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[
\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[
f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\]
ノルム空間・中線定理・内積空間の関係
\[
\text{ノルム空間}+\text{中線定理}\Leftrightarrow\text{内積空間}
\]
コーシー・シュワルツの不等式
\[
\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\]
内積空間の定義
\[
\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)
\]
ノルム空間ならば距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\]
ノルム・半ノルムの性質
\[
0\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert
\]
ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義
\[
\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)
\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[
f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f
\]
双対基底の定義と性質
\[
\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{v}_{k}
\]
双対空間の定義と性質
\[
V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)
\]
線形写像全体のなす集合の定義
\[
\hom_{K}\left(V,W\right)
\]
ベクトル空間の次元と同型の関係
\[
\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W
\]
ベクトル空間の準同型定理
\[
V/\ker f\simeq\im f
\]
ベクトル空間の商写像
\[
f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N
\]
商空間(商ベクトル空間)の定義と性質
\[
V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\}
\]