ガンマ関数の微分
ガンマ関数の微分は以下の通りになる。
\[ \frac{d}{dx}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \]
ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\begin{align*} \frac{d}{dz}\Gamma(z) & =\Gamma(z)\frac{d}{dz}\log\left(\Gamma(z)\right)\\ & =\Gamma(z)\psi(z) \end{align*}
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タイトル | ガンマ関数の微分 |
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- ガウスの乗法公式\[ \Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right) \]
- ガンマ関数の相反公式\[ \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z) \]
- ガンマ関数の無限乗積\[ \Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1) \]
- 第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分\[ \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x} \]
- ガンマ関数の1/2値\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]