ガンマ関数の微分
ガンマ関数の微分は以下の通りになる。
\[ \frac{d}{dx}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \]
ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\begin{align*} \frac{d}{dz}\Gamma(z) & =\Gamma(z)\frac{d}{dz}\log\left(\Gamma(z)\right)\\ & =\Gamma(z)\psi(z) \end{align*}
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タイトル | ガンマ関数の微分 |
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ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]