ガンマ関数の微分
ガンマ関数の微分は以下の通りになる。
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \] ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \] ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\begin{align*}
\frac{d}{dz}\Gamma(z) & =\Gamma(z)\frac{d}{dz}\log\left(\Gamma(z)\right)\\
& =\Gamma(z)\psi(z)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ntcr6sqv/ |
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ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]