カテゴリー: 数学その他

関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。

\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) \]

\[ \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \]

\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \]

エジプト式分数は無数に存在する。

任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。

\[ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4} \]

\[ \frac{1}{2},\frac{3}{3},\frac{4}{3} \]

\[ \frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt \]

\[ \sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x} \]

\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]