e^(ikx)の和
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[
\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}
\]
\begin{align*} \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} & =\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}\\ & =e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n}e^{ikx}\\ & =e^{-inx}\frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}\\ & =\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\ & =\frac{e^{-i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}-e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}\\ & =\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \end{align*}
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タイトル | e^(ikx)の和 |
URL | https://www.nomuramath.com/ohqhumvt/ |
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- 連続で出来る部分分数分解\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
- ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数\[ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx \]
- リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義\[ \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \]
- ゼータ関数とイータ関数の関係\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) \]