e^(ikx)の和
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\begin{align*}
\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} & =\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}\\
& =e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n}e^{ikx}\\
& =e^{-inx}\frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}-e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}\\
& =\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | e^(ikx)の和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ohqhumvt/ |
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第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[
T_{n}(\cos t)=\cos(nt)
\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[
\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C
\]
帽子に書かれた番号を当てるにはどうすればいい？