「Aを満たすBが存在する」と「Aを満たすのは任意のBについてである」いう表現
量化記号の説明部分の順番
論理演算と集合演算との関係
\[a\in A\leftrightarrow a\in B\Leftrightarrow a\in\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cup B\right)^{c}\]
論理演算の個数
n入力1出力論理演算は入力$P_{1},P_{2},\cdots,P_{n}$に対して$2^{2^{n}}$種類ある。
論理回路と論理演算
\begin{align*}A\mathrm{nor}B & =A\downarrow B\\ & =\lnot\left(A\lor B\right)\end{align*}
AであってもBであるとは限らないの論理式と否定の論理式
\[A\text{であっても}B\text{であるとは限らない}\Leftrightarrow\exists x,A\left(x\right)\land\lnot B\left(x\right)\]
論理積・条件・同値の違い
\[A\leftrightarrow B\land B\leftrightarrow C\Leftrightarrow A\leftrightarrow B\land A\leftrightarrow C\]
命題の同値・否定同値で成り立つ論理式
\[A\leftrightarrow B\Rightarrow A\lor C\leftrightarrow B\lor C\]
転換法
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)\]
量化子(全称命題・存在命題)と和集合
\[\forall x\in A\cup B,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in B,P\left(x\right)\right)\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合と命題変数
\[\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top\]
量化子(全称命題・存在命題)の命題関数と命題変数への分配
\[\exists x\in X,P\left(x\right)\lor Q\Rightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\lor Q\]
量化子(全称命題・存在命題)の分配
\[\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)\]
全称命題と存在命題との論理的関係
\[\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land\left(X\ne\emptyset\right)\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)\]
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)\]
量化記号(全称命題・存在命題)の定義
\[\forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right)\]
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P\]
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)\]
3引数論理演算を別表記
\[P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R\]
3つのうち1つを消したものとの包含関係
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q\]
LK推論規則での包含関係
\[\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right)\]