和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[ P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[ \sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[ P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[ P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)同士の関係
\[ P(x,y)=P^{-1}(x-y,-y)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
\[ P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!}\]
連続で出来る部分分数分解
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right)\]
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}\]
logの2乗の級数表示
\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[ \psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数
\[\psi\left(z\right)=-\gamma+H_{z-1}\]
ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\]
ガンマ関数の無限乗積
\[ \Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1)\]
逆三角関数と逆双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[ \int\sin^{\bullet,n}xdx=x\sin^{\bullet,n}x+n\sqrt{1-x^{2}}\sin^{\bullet,n-1}x-n(n-1)\int\sin^{\bullet,n-2}xdx\]
三角関数と双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[ \int\sin^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}xdx\qquad(n\ne0)\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[ \sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)\]
逆三角関数と逆双曲線関数の積分
\[ \int\sin^{\bullet}xdx=x\sin^{\bullet}x+\sqrt{1-x^{2}}\]
逆三角関数と逆双曲線関数の級数表示
\[ \sin^{\bullet}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(2k,k\right)}{4^{k}(2k+1)}x^{2k+1}\qquad,(|x|\leq1)\]
逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示
\[ \sin^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[ \int\cos xdx=\sin x\]
逆三角関数の三角関数と逆双曲線関数の双曲線関数
\[\sin\Cos^{\bullet}z=\sqrt{1-z^{2}}\]
逆3角関数と逆双曲線関数の微分
\[ \frac{d}{dx}\sin^{\bullet}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]
三角関数と双曲線関数の微分
\[ \frac{d}{dx}\tan x=\cos^{-2}x\]
双曲線関数と三角関数の級数展開
\[ \tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1}\]
ベッセル関数のポアソン積分表示
\[ J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt\]