NEW!勾配の方向と方向微分
\[
\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right):=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f
\]
NEW!ストークスの定理とガウスの発散定理
\[
\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}
\]
NEW!ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンの定義
\[
\boldsymbol{\nabla}:=\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i}
\]
NEW!合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]
偏微分・全微分・偏微分可能性・全微分可能性の定義
\[
df:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)}{\partial x_{i}}dx_{i}
\]
ハイパー調和数の性質
\[
H_{n}^{\left(1\right)}=H_{n}
\]
ハイパー調和数の定義
\[
H_{n}^{\left(r\right)}:=\begin{cases}
\frac{1}{n} & r=0\\
\sum_{k=1}^{n}H_{k}^{\left(r-1\right)} & r\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
可算集合と無限集合の濃度
無限濃度で最小の濃度は可算集合の濃度である。
写像の標準分解
\[
f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y
\]
連続関数同士の合成関数は連続
\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x_{0}\right)\right)
\]
クロネッカーのデルタを含む総和
\[
\sum_{j=0}^{n}\delta_{kj}=1-\sum_{j=0}^{k-1}\delta_{nj}
\]
リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)
\[
\zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right)
\]
リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
\[
\zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1}
\]
リーマン・ゼータ関数の微分の極限
\[
\lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n!
\]
リーマン・ゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[
n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)
\]
総和・総乗・積分の順序反転逆演算
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=-\sum_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right)
\]
数列・関数の和・積・商・スカラー倍の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab
\]
調和数の相反公式
\[
H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}
\]
調和数の2項係数展開
\[
H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right)
\]
調和数・一般化調和数の乗法公式
\[
H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}
\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[
\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[
\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)
\]
調和数・一般化調和数の積分
\[
\int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C
\]
一般化調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)
\]