三角関数 2021年4月14日 巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分 \[ \int z^{\alpha}\Sin^{\circ}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\circ}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C \]
多重対数関数 2021年4月8日 巾関数と多重対数関数の積の積分 \[ \int z^{\alpha}\Li_{n}\left(z\right)dz=\frac{\left(-1\right)^{n}z^{\alpha+1}}{\left(\alpha+1\right)^{n}}\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{k}\left(\alpha+1\right)^{k-1}\Li_{k}\left(z\right)\right)+\frac{z}{\alpha+2}F\left(1,\alpha+2;\alpha+3;z\right)\right\} \]
三角関数 2021年4月6日 逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係 \[ \Tan^{\circ}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right) \]
三角関数 2021年4月1日 三角関数と双曲線関数の実部と虚部 \[ \sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \]
2項係数 2021年3月28日 2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e} \]
三角関数 2021年3月24日 三角関数と双曲線関数のn乗積分 \[ \int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\} \]