2項係数の2乗和
中2項係数の2乗和
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j) & =\sum_{j=0}^{m}C(m,j)C(m,m-j)\\
& =C(2m,m)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の2乗和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y6xkt7ax/ |
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2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
負の整数の2項係数
\[
C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)
\]
2項係数の1項間漸化式
\[
C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)
\]
2項変換と交代2項変換の逆変換
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}
\]