2項係数の2乗和
中2項係数の2乗和
\(m\in\mathbb{Z}_{0}\)とする。
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
\begin{align*} \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j) & =\sum_{j=0}^{m}C(m,j)C(m,m-j)\\ & =C(2m,m) \end{align*}
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タイトル | 2項係数の2乗和 |
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2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]