定数係数隣接3項間線形非同次漸化式
\[pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=s\]
定数係数隣接3項間線形(同次・非同次)漸化式
\[pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=f\left(x\right)\]
連分数の収束子の奇偶性
\[\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}\]
連分数と最大公約数
\[\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1\]
無限連分数の収束条件
\[\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\]
連分数の収束子と漸化式
\[\frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j}\]
(*)簡単な連分数展開
\[\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)\]
連分数の性質
\[\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]\]
連分数の定義
\[\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}\]
基本的な関数のフーリエ変換
\[\mathcal{F}_{1,x}\left[x^{n}\right]\left(\xi\right)=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n}\delta^{\left(n\right)}\left(\xi\right)\]
簡単な関数のフーリエ級数展開
\[F\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\left(\left(2k-1\right)x\right)\]
ディリクレの収束定理
\[F\left(x\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f\left(x+\epsilon\right)+f\left(x-\epsilon\right)}{2}\]
フーリエ級数展開でのベッセルの不等式
\[\sum_{k=-n}^{n}\left|C_{k}\right|^{2}\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx\]
ポアソン和公式
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right)\]
偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換
\[\mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\]
フーリエ変換でのパーセバルの等式
\[\int_{-\infty}^{\infty}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{F\left(\xi\right)}G\left(\xi\right)d\xi\]
フーリエ変換の性質
\[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\]
フーリエ変換の定義による違い
\[\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)\]
フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
\[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\]
実フーリエ級数
\[f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)\]
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx\]
複素フーリエ係数の関係
\[c_{-n}=\overline{c_{n}}\]
複素フーリエ級数
\[c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx\]
3角関数・指数関数の直交性
\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n}\]
ガウス積分の応用
\[\int_{0}^{\infty}x^{\gamma}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{1+\gamma}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}+1\right)\]
ガウス積分の一般化
\[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\]
ガウス積分
\[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\]
フレネル積分の級数表示
\[\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)}\]
フレネル積分の一般化
\[\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a}\]
フレネル積分の値
\[\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\]