リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
(1)リーマン・ゼータ関数
リーマン・ゼータ関数は以下で定義される。
\[ \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \]
(2)ディリクレ・イータ関数
ディリクレ・イータ関数は以下で定義される。
\[ \eta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k^{s}} \]
ページ情報
タイトル | リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/zomisy5e/ |
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(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]