ガンマ関数の極限問題
\[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a} \]
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\ & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\ & =\frac{1}{a} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
\[
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\tan^{-1}(\pi z)
\]
偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]