ガンマ関数の極限問題
\[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a} \]
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\ & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\ & =\frac{1}{a} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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- ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \]
- ガンマ関数の半整数値\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \]
- ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示とテイラー展開\[ \psi(z) =-\gamma-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k+1}\right) \]
- 第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質\[ \Gamma\left(1,x\right)=e^{-x} \]
- 偶数と奇数の2重階乗\[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \]