ガンマ関数の極限問題
\[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a} \]
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\ & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\ & =\frac{1}{a} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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- 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係\[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
- ガウスの乗法公式\[ \Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right) \]
- 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]
- ディガンマ関数の級数表示・導関数・テイラー展開\[ \psi(z) =-\gamma-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k+1}\right) \]