ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\
& =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\
& =\frac{1}{a}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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ガンマ関数の半整数値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}
\]
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[
\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right)
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[
\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]