ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\
& =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\
& =\frac{1}{a}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
| SNSボタン |
ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+H_{z-1}
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]