ゼータ関数とイータ関数の関係
ゼータ関数とイータ関数は以下の関係がある。
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]
\begin{align*} \eta(s) & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{k+1}k^{-s}\\ & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k+1}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k}(2k-1)^{-s}\\ & =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k-1)^{-s}\\ & =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}\\ & =-2^{1-s}\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}\\ & =(1-2^{1-s})\zeta(s) \end{align*}
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タイトル | ゼータ関数とイータ関数の関係 |
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リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[
\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
完備リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\xi(s)=\xi(1-s)
\]
ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]