ゼータ関数とイータ関数の関係
ゼータ関数とイータ関数は以下の関係がある。
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]
\begin{align*} \eta(s) & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{k+1}k^{-s}\\ & =\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k+1}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(-1)^{2k}(2k-1)^{-s}\\ & =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k-1)^{-s}\\ & =-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}-\sum_{k=1}^{^{\infty}}(2k)^{-s}\\ & =-2^{1-s}\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}+\sum_{k=1}^{^{\infty}}k^{-s}\\ & =(1-2^{1-s})\zeta(s) \end{align*}
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タイトル | ゼータ関数とイータ関数の関係 |
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フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt
\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]
ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数$\zeta\left(s\right)$は$\Re\left(s\right)>1$で絶対収束
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]