階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\(x,y,z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z) \]
(2)
\[ Q(x,y+z)=Q(x,y)Q(x+y,z) \]
(1)
\begin{align*} P(x,y+z) & =\frac{x!}{(x-y-z)!}\\ & =\frac{x!}{(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-y-z)!}\\ & =P(x,y)P(x-y,z) \end{align*}
(2)
\begin{align*} Q\left(x,y+z\right) & =\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(x+y\right)}{\Gamma\left(x\right)}\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x+y\right)}\\ & =Q(x,y)Q(x+y,z) \end{align*}
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タイトル | 階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則 |
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階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[
\sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0
\]
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[
\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)
\]
和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[
P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)
\]