階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\(x,y,z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z) \](2)
\[ Q(x,y+z)=Q(x,y)Q(x+y,z) \](1)
\begin{align*} P(x,y+z) & =\frac{x!}{(x-y-z)!}\\ & =\frac{x!}{(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-y-z)!}\\ & =P(x,y)P(x-y,z) \end{align*}(2)
\begin{align*} Q\left(x,y+z\right) & =\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(x+y\right)}{\Gamma\left(x\right)}\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x+y\right)}\\ & =Q(x,y)Q(x+y,z) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/i1k1zscx/ |
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階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値
\[
P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)同士の関係
\[
P(x,y)=P^{-1}(x-y,-y)
\]
和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[
P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)
\]