階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則

\(x,y,z\in\mathbb{C}\)とする。

(1)

\[ P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z) \]

(2)

\[ Q(x,y+z)=Q(x,y)Q(x+y,z) \]

(1)

\begin{align*} P(x,y+z) & =\frac{x!}{(x-y-z)!}\\ & =\frac{x!}{(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-y-z)!}\\ & =P(x,y)P(x-y,z) \end{align*}

(2)

\begin{align*} Q\left(x,y+z\right) & =\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(x+y\right)}{\Gamma\left(x\right)}\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x+y\right)}\\ & =Q(x,y)Q(x+y,z) \end{align*}

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階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則

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