階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\(x,y,z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z) \]
(2)
\[ Q(x,y+z)=Q(x,y)Q(x+y,z) \]
(1)
\begin{align*} P(x,y+z) & =\frac{x!}{(x-y-z)!}\\ & =\frac{x!}{(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-y-z)!}\\ & =P(x,y)P(x-y,z) \end{align*}
(2)
\begin{align*} Q\left(x,y+z\right) & =\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(x+y\right)}{\Gamma\left(x\right)}\frac{\Gamma\left(x+y+z\right)}{\Gamma\left(x+y\right)}\\ & =Q(x,y)Q(x+y,z) \end{align*}
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タイトル | 階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則 |
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階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[
P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)
\]
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[
\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分
\[
\frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\}
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}
\]