階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則

\(m,n\in\mathbb{Z}\)とする。

(1)

\[ P(x,m+n)=P(x,m)P(x-m,n) \]

(2)

\[ Q(x,m+n)=Q(x,m)Q(x+m,n) \]

(1)

\begin{align*} P(x,m+n) & =\frac{x!}{(x-m-n)!}\\ & =\frac{x!}{(x-m)!}\frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}\\ & =P(x,m)P(x-m,n) \end{align*}

(2)

\begin{align*} Q\left(x,m+n\right) & =\frac{\Gamma\left(x+m+n\right)}{\Gamma\left(x\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(x+m\right)}{\Gamma\left(x\right)}\frac{\Gamma\left(x+m+n\right)}{\Gamma\left(x+m\right)}\\ & =Q(x,m)Q(x+m,n) \end{align*}

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階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則

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