バナッハ空間の閉部分空間はバナッハ空間
バナッハ空間の例
\[\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}=\left(\sum_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\]
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
\[\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)\]
有限次元空間のノルムは全て同値
ノルムの同値性の定義と性質
\[c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\]
ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \]
ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon\]