2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
カテゴリー: ２項係数
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
負の整数の2項係数
\[
C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)
\]
パスカルの法則の一般形
\[
C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right)
\]
パスカルの法則の応用
\[
C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)
\]
中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
2項係数の半分までの総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}
\]
2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]