集合列と非交和
\[\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)\]
集合列と和集合・積集合
\[\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\]
2つの集合族同士の演算
\[\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\]
直積集合の性質
\[\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\]
直積集合の定義
\[A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \]
配置集合
\[B^{A}\]
集合族演算の補集合と分配法則
\[\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\]
集合族の添え字集合が空集合
\[\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset\]
集合族の和集合・積集合の定義
\[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]
和集合・積集合から成り立つ関係
\[A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c}\]
集合の演算その他
\[A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B\]
対称差集合の演算
\[A\bigtriangleup B=A^{c}\bigtriangleup B^{c}\]
差集合の演算
\[\left(A\setminus B\right)\setminus C=A\setminus\left(B\cup C\right)\]
否定包含関係を含む式
\begin{align*}A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset\end{align*}