直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン
\[\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}}\]
直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散
\[\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}\]
直交曲線座標での性質
\[h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\]
スケール因子・微小線素と単位基底ベクトル・ベクトルの成分同士の関係
\[\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}\]
勾配の方向と方向微分
\[\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right):=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f\]
ストークスの定理とガウスの発散定理
\[\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}\]