クラスと真のクラスの定義と性質
\[C=\left\{ X;X\text{は集合で}\psi\left(X\right)\text{を満たす}\right\} \]
全順序集合での順序写像・順序単射と全単射
有向集合と有向点列の定義
\[\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c\]
集合族演算の補集合と分配法則
\[\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\]
集合族の添え字集合が空集合
\[\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset\]
集合族の和集合・積集合の定義
\[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]
和集合・積集合から成り立つ関係
\[A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c}\]
集合の演算その他
\[A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B\]
対称差集合の演算
\[A\bigtriangleup B=A^{c}\bigtriangleup B^{c}\]
差集合の演算
\[\left(A\setminus B\right)\setminus C=A\setminus\left(B\cup C\right)\]
否定包含関係を含む式
\begin{align*}A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset\end{align*}
等号なし包含関係を含む式
\[A\subsetneq B\Rightarrow A\subseteq B\]
包含関係を含む式
\[A\subseteq A\cup B\]
量化子と集合
\[\forall x\in X,x\in A\Leftrightarrow A=X\]
空集合と全体集合を含む集合演算
\[A\cup A^{c}=X\]
集合の演算の基本
\[A\cup\left(A^{c}\cap B\right)=A\cup B\]
集合の演算の定義
\[A\cup B=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\} \]
可算集合と無限集合の濃度
無限濃度で最小の濃度は可算集合の濃度である。
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
写像の標準分解
\[f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y\]
集合族の和集合・積集合の性質
\[\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A}\]
整除関係と大小関係
\[\forall a,b\in\mathbb{N},a\mid b\rightarrow a\leq b\]
整除関係の性質
\[a\mid b\land b\mid a\leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\]