冪乗和と第2種スターリング数の関係
\[\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)\]
微分演算子とスターリング数
\[x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}\]
(*)スターリング数と2項係数
\[C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k\]
スターリング数の母関数
\[\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}\]
スターリング数の解釈
\[\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}\]
スターリング数の簡単な値
\[S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}\]
スターリング数とベルヌーイ数の関係
\[\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}S_{1}\left(m+1,k+1\right)B_{k}=\frac{1}{m+1}\]
第1種・第2種スターリング数の性質
\[\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n!\]
スターリング数と上昇・下降階乗
\[Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}\]
スターリング数の逆行列
\[\delta_{nj}=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)\]
第2種スターリング数の一般解
\[S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}\]
スターリング数の組み合わせ解釈