0の極限のべき乗と0の極限乗
\[\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\1 & \alpha=0\\\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)\end{cases}\]
積が非負実数のべき乗
\[\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}\]
指数関数の実部と虚部
\[\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\]
複素数の実部と虚部
\[\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)\]
偏角・対数の極限
\[\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0\end{cases}\]
負数の偏角と対数
\[\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi\]
冪乗の対数
\[\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)\]
2乗のルート
\[\sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)}\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)\]
符号関数の偏角・対数
\[\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha\]
絶対値の冪乗
\[\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}\]
偏角・対数と絶対値
\[\Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta\]
[移動]複素共役の偏角と対数
\[\Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z}\]
偏角・対数の和と差
\[\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\]
逆数・複素共役の偏角と対数
\[\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\]
複素数と複素共役の和・差
\[z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z\]
偏角の和と積の偏角
\[\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)\]
冪乗の性質
\[\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}\]
対数と偏角の性質
\[\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1\]
複素指数関数の極形式
\[\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\]