正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示
\[\int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C\]
3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示
\[\int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C\]
逆3角関数と逆双曲線関数の主値と2乗のルート
\[\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z\]
3角関数と逆3角関数・双曲線関数と逆双曲線関数の関係
\[\sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z\]
3角関数・双曲線関数の総和
\[\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)\]
正接・双曲線正接の総和展開
\[\tan\pi z=\frac{2z}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}-z^{2}}\]
3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)\]
3角関数・双曲線関数の無限乗積展開
\[\sin\left(\pi z\right)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\]
正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
\[\tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right)\]
1と3角関数・双曲線関数(半角の公式の拡張)
\[1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}\]
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
\[\tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z}\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}\]
三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分
\[ \int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\bullet}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C \]
3角関数(双曲線関数)の逆3角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件
\[\sin^{\bullet}\sin z=?z\]
偏角の3角関数
\[\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}\]
オイラーの公式の応用
\[\cos z\pm i\sin z=e^{\pm iz}\]
1±itan(z)など
\[1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)\]
三角関数・双曲線関数の実部と虚部
\[\sin z=\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)+i\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)\]
逆三角関数と逆双曲線関数の関係
\[\Sin^{\bullet}\left(iz\right)=i\Sinh^{\bullet}z\]
逆三角関数と逆双曲線関数の負角
\[\Sin^{\bullet}\left(-z\right)=-\Sin^{\bullet}z\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\]
巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分
\[\int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C\]
逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係
\[\Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right)\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[\sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\]
三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\} \]
三角関数・双曲線関数の微分
\[\left(\sin x\right)'=\cos x\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[\int f(\cos x,\sin x)dx=\int f\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt\cmt{t=\tan\frac{x}{2}}\]
逆三角関数と逆双曲線関数の対数表示
\[\Sin^{\bullet}z=-i\Log\left(iz+\sqrt{1-z^{2}}\right)\]
三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数
\[\log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k}\]
三角関数と双曲線関数の対数の積分
\[\int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{}\]