アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[
f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\]
カテゴリー: 線形写像
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[
f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f
\]
双対基底の定義と性質
\[
\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{v}_{k}
\]
双対空間の定義と性質
\[
V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)
\]
線形写像全体のなす集合の定義
\[
\hom_{K}\left(V,W\right)
\]
ベクトル空間の次元と同型の関係
\[
\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W
\]
ベクトル空間の準同型定理
\[
V/\ker f\simeq\im f
\]
ベクトル空間の商写像
\[
f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N
\]
ベクトル空間の線形同型は同値関係
ベクトル空間の同型$\simeq$は同値関係を満たす。
ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義と性質
線形写像$f$が全単射であるとき、線形同型写像という。
線形写像の合成写像と像
$f$が全射であるとき、$\im\left(g\circ f\right)=\im g$となる。
線形写像の全射・単射と像・核と次元
単射であることと、$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $となることは同値である。
線形写像・行列における次元定理
\[
\dim V=\dim\im f+\dim\ker f
\]
線形写像の核と像の定義と性質
\[
\ker f=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;f\left(\boldsymbol{x}\right)=0_{W}\right\}
\]
線形写像と線形変換と表現行列の関係
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}
\]
基底変換行列と表現行列の関係
\[
B=Q^{-1}AP
\]
線形写像の合成と表現行列の積
\[
A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}
\]
表現行列の定義とベクトルの成分
\[
\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A
\]
線形写像・零写像・線形変換・ 恒等変換の定義と性質
\[
\begin{cases}
f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\
f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)
\end{cases}
\]