2項係数の逆数の差分
2項係数の逆数の差分
(1)
\[ C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \]
(2)
\[ \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \]
(1)
\begin{align*} C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{k+j+1}{j+1}-\frac{k+1}{j+1}\right)\frac{(j+1)!k!}{(k+j+1)!}\\ & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{j!k!}{(k+j)!}-\frac{j!(k+1)!}{(k+k+1)!}\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\sum_{k=0}^{n}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(j,j)-C^{-1}(n+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 2項係数の逆数の差分 |
URL | https://www.nomuramath.com/ydpvw0qs/ |
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- 2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e} \]
- 中央2項係数の通常型母関数\[ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}} \]
- 2項係数の半分までの総和\[ \sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2} \]
- 中央2項係数\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
- 2項係数の1項間漸化式\[ C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y) \]