ガンマ関数の1/2値

ガンマ関数の\(\frac{1}{2}\)での値は以下の通りになる。
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]

1

\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\ & =2\int_{0}^{\infty}e^{-s^{2}}ds\qquad,\qquad t=s^{2}\\ & =\sqrt{\pi} \end{align*}

2

\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & >\int_{0}^{\infty}0dt\\ & =0 \end{align*}

より、

\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\sqrt{\Gamma^{2}\left(\frac{1}{2}\right)}\\ & =\sqrt{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)}\\ & =\sqrt{\pi\sin^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\ & =\sqrt{\pi} \end{align*}

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ガンマ関数の1/2値

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https://www.nomuramath.com/fsphpruv/

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