ガンマ関数の1/2値
ガンマ関数の\(\frac{1}{2}\)での値は以下の通りになる。
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]
1
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\ & =2\int_{0}^{\infty}e^{-s^{2}}ds\qquad,\qquad t=s^{2}\\ & =\sqrt{\pi} \end{align*}2
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & >\int_{0}^{\infty}0dt\\ & =0 \end{align*} より、\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) & =\sqrt{\Gamma^{2}\left(\frac{1}{2}\right)}\\ & =\sqrt{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)}\\ & =\sqrt{\pi\sin^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\ & =\sqrt{\pi} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の1/2値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fsphpruv/ |
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ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]