1次独立であることと同値な条件
\[\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\text{が1次独立}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\text{が1次独立}\land a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \]
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
\[V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\} \]
商空間(商ベクトル空間)の定義と性質
\[V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\} \]
ベクトル空間での剰余集合での和集合・積集合・差集合・対称差の演算
\[\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\]
商集合と商類の性質
\[A+\left\{ C\right\} =\left\{ C\right\} +A\]
ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
\[\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B\]
ベクトル空間での剰余集合(商集合)と剰余類(商類)の定義と性質
\[\left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B\]
基底の性質
$K^{n}$空間では$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$が基底であることと、$\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0$であることは同値である。
和空間・積集合の次元
\[\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)\]
ベクトル空間の次元の定義
ベクトルの基底と成分の変換
\[\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P\]
ベクトルの基底に関する成分
\[\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{array}\right)\]
ベクトル空間の基底の定義
ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。
生成される部分空間
\[W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K}\]
1次従属・1次独立の基本性質
ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。
1次関係と1次独立と1次従属の定義
\[\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\]