カテゴリー: ベクトル空間

\[ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\text{が1次独立}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\text{が1次独立}\land a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \]

\[ V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\} \]

\[ V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\} \]

\[ \left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right) \]

\[ A+\left\{ C\right\} =\left\{ C\right\} +A \]

\[ \left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B \]

\[ \left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B \]

$K^{n}$空間では$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$が基底であることと、$\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0$であることは同値である。

\[ \dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right) \]

\[ \left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P \]

\[ \boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right) \]

部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。

\[ W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K} \]

ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。

\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 \]

\[ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\rightarrow\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W \]

ベクトル空間の零ベクトルは一意的である。

\[ \boldsymbol{x}+\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)=\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+\boldsymbol{z} \]