ファンデルモンドの畳み込み定理

ファンデルモンドの畳み込み定理

\(k\in\mathbb{N}_{0}\)とする。

\[ \sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k) \]

(*)

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)t^{k} & =\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}C(x,j)C(y,i)t^{j+i}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}C(x,j)t^{j}\sum_{i=0}^{\infty}C(y,i)t^{i}\\ & =(t+1)^{x}(t+1)^{y}\\ & =(t+1)^{x+y}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}C(x+y,k)t^{k} \end{align*}

\(t\)の係数を比較すると与式は成り立つ。

(*)-2

\(x,y\)が整数の場合の証明

\begin{align*} \sum_{k=0}^{m+n}\sum_{j=0}^{k}C(m,j)C(n,k-j)x^{k} & =\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}C(m,j)C(n,i)x^{j+i}\\ & =\sum_{i=0}^{m}C(n,i)x^{i}\sum_{j=0}^{n}C(m,j)x^{j}\\ & =(x+1)^{m}(x+1)^{n}\\ & =(x+1)^{m+n}\\ & =\sum_{k=0}^{m+n}C(m+n,k)x^{k} \end{align*}

\(x\)の係数を比較すると与式は成り立つ。

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ファンデルモンドの畳み込み定理

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https://www.nomuramath.com/cxvprn5k/

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