ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
(1)ファンデルモンドの畳み込み定理
\(k\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[
\sum_{j=0}^{k}C\left(x,j\right)C\left(y,k-j\right)=C\left(x+y,k\right)
\]
(2)2項係数の第1引数の畳み込み
\(l,m,n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[
\sum_{k=0}^{l}C\left(k,m\right)C\left(l-k,n\right)=C\left(l+1,m+n+1\right)
\]
(1)
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}C\left(x,j\right)C\left(y,k-j\right)t^{k} & =\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}C\left(x,j\right)C\left(y,i\right)t^{j+i}\\
& =\sum_{j=0}^{\infty}C\left(x,j\right)t^{j}\sum_{i=0}^{\infty}C\left(y,i\right)t^{i}\\
& =\left(t+1\right)^{x}\left(t+1\right)^{y}\\
& =\left(t+1\right)^{x+y}\\
& =\sum_{k=0}^{\infty}C\left(x+y,k\right)t^{k}
\end{align*}
\(t\)の係数を比較すると与式は成り立つ。
(1)-2
超幾何関数と超幾何定理を使う。
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{k}C\left(x,j\right)C\left(y,k-j\right) & =\sum_{j=0}^{k}\frac{P\left(x,j\right)P\left(y,k-j\right)}{j!\left(k-j\right)!}\\
& =\sum_{j=0}^{k}\frac{P\left(x,j\right)}{j!\left(k-j\right)!Q\left(y+1,j-k\right)}\\
& =\sum_{j=0}^{k}\frac{P\left(x,j\right)}{j!\left(k-j\right)!Q\left(y+1,-k\right)Q\left(y-k+1,j\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\sum_{j=0}^{k}\frac{k!P\left(x,j\right)}{j!\left(k-j\right)!Q\left(y-k+1,j\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\sum_{j=0}^{k}\frac{P\left(k,j\right)P\left(x,j\right)}{j!Q\left(y-k+1,j\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\sum_{j=0}^{k}\frac{\left(-1\right)^{j}P\left(k,j\right)\left(-1\right)^{j}P\left(x,j\right)}{j!Q\left(y-k+1,j\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\sum_{j=0}^{k}\frac{Q\left(-k,j\right)Q\left(-x,j\right)}{j!Q\left(y-k+1,j\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}F\left(-k,-x;y-k+1;1\right)\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\cdot\frac{\Gamma\left(y-k+1\right)\Gamma\left(y-k+1+k+x\right)}{\Gamma\left(y-k+1+k\right)\Gamma\left(y-k+1+x\right)}\cmt{\text{超幾何定理}}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\cdot\frac{\Gamma\left(y-k+1\right)\Gamma\left(y+1+x\right)}{\Gamma\left(y+1\right)\Gamma\left(y-k+1+x\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y+1,-k\right)}\cdot\frac{\Gamma\left(y\right)Q\left(y,1-k\right)\Gamma\left(y+x\right)\left(y+x\right)}{\Gamma\left(y\right)y\Gamma\left(y+x\right)Q\left(y+x,1-k\right)}\\
& =\frac{1}{k!Q\left(y,1-k\right)}\cdot\frac{Q\left(y,1-k\right)Q\left(y+x,1\right)}{Q\left(y+x,1-k\right)}\\
& =\frac{\left(y+x\right)}{k!Q\left(y+x,1-k\right)}\\
& =\frac{\left(y+x\right)P\left(y+x-1,k-1\right)}{k!}\\
& =\frac{P\left(y+x,k\right)}{k!}\\
& =C\left(x+y,k\right)
\end{align*}
(1)-3
\(x,y\)が整数の場合の証明
\(x+y\)個の対象から\(n\)個を選ぶ方法は\(C\left(x+y,n\right)\)通りである。
これは\(x\)個と\(y\)個に分けて\(x\)個の中から\(k\)個と\(y\)個の中から\(n-k\)個を選び\(k\)について0から\(n\)まで総和をとっても同じである。
すなわち\(\sum_{k=0}^{n}C\left(x,k\right))C\left(y,n-k\right)=C\left(x+y,k\right)\)となる。
(1)-4
\(x,y\)が整数の場合の証明
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{m+n}\sum_{j=0}^{k}C\left(m,j\right)C\left(n,k-j\right)x^{k} & =\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}C\left(m,j\right)C\left(n,i\right)x^{j+i}\\
& =\sum_{i=0}^{m}C\left(n,i\right)x^{i}\sum_{j=0}^{n}C\left(m,j\right)x^{j}\\
& =\left(x+1\right)^{m}\left(x+1\right)^{n}\\
& =\left(x+1\right)^{m+n}\\
& =\sum_{k=0}^{m+n}C\left(m+n,k\right)x^{k}
\end{align*}
\(x\)の係数を比較すると与式は成り立つ。
(2)
\begin{align*}
\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{l}C\left(k,m\right)C\left(l-k,n\right)x^{l+1} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}C\left(k,m\right)C\left(j,n\right)x^{k+j+1}\\
& =x\sum_{j=0}^{\infty}C\left(j,n\right)x^{j}\sum_{k=0}^{\infty}C\left(k,m\right)x^{k}\\
& =xx^{n}\left(1-x\right)^{-\left(n+1\right)}x^{m}\left(1-x\right)^{-\left(m+1\right)}\\
& =x^{m+n+1}\left(1-x\right)^{-\left(m+n+2\right)}\\
& =\sum_{l=0}^{\infty}C\left(l,m+n+1\right)x^{l}\\
& =\sum_{l=-1}^{\infty}C\left(l+1,m+n+1\right)x^{l+1}\\
& =\sum_{l=0}^{\infty}C\left(l+1,m+n+1\right)x^{l+1}
\end{align*}
\(x^{l+1}\)の係数を比べると、
\[
\sum_{k=0}^{l}C\left(k,m\right)C\left(l-k,n\right)=C\left(l+1,m+n+1\right)
\]
となる。
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タイトル | ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み |
URL | https://www.nomuramath.com/cxvprn5k/ |
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