積分問題
\(1\leq s\)とする。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s) \] \(\eta(s)\)はイータ関数である。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s) \] \(\eta(s)\)はイータ関数である。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx & =4\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}dx\\
& =4\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}e^{-2x}}{(1+e^{-2x})^{2}}dx\\
& =4\int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-2x}\sum_{u=0}^{\infty}\left(-e^{-2x}\right)^{u}\sum_{v=0}^{\infty}\left(-e^{-2x}\right)^{v}dx\\
& =4\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}(-1)^{u+v}\int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-2(u+v+1)x}dx\\
& =4\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}(-1)^{u+v}\frac{1}{2^{s+1}(u+v+1)^{s+1}}\int_{0}^{\infty}y^{s}e^{-y}dy\qquad,\qquad y=2(u+v+1)x\\
& =4\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}(-1)^{u+v}\frac{1}{2^{s+1}(u+v+1)^{s+1}}\Gamma(s+1)\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}\frac{(-1)^{u+v}}{(u+v+1)^{s+1}}\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^{j}}{(j+1)^{s+1}}\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{j}}{(j+1)^{s}}\\
& =\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 積分問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/gudj3oi6/ |
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