ベル数の簡単な値
\[B\left(n,0\right)=\delta_{0,n}\]
ベル数の指数型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}B\left(k\right)\frac{x^{k}}{k!}=e^{e^{x}-1}\]
ベル数の漸化式
\[B\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B\left(k\right)\]
ベル数の定義
\[B\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,j\right)\]
冪乗和と第2種スターリング数の関係
\[\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)\]
微分演算子とスターリング数
\[x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}\]
最大個数制限付きの分割数の漸化式
\[p_{1}\left(n,k,m\right)=p_{1}\left(n,k-1,m\right)+p_{1}\left(n-k,k,m\right)-p_{1}\left(n-k-m,k-1,m\right)\]
分割数の簡単な値
\[p\left(n,2\right)=1+\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \]
分割数の漸化式
\[p\left(n,k\right)=p\left(n,k-1\right)+p\left(n-k,k\right)\]
空箱あり・なしの分割数の定義
\[q\left(n,k\right)=p\left(n-k,k\right)\]
3階のエディントン・イプシロンの性質
\[\epsilon_{ijk}=\det\left(\begin{array}{ccc}\delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\\delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\\delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k}\end{array}\right)\]
レヴィ・チヴィタ・イプシロンの定義
\[\epsilon_{ijk}=\begin{cases}+1 & even\\-1 & odd\\0 & etc\end{cases}\]
ハイパー調和数の性質
\[H_{n}^{\left(1\right)}=H_{n}\]
ハイパー調和数の定義
\[H_{n}^{\left(r\right)}:=\begin{cases}\frac{1}{n} & r=0\\\sum_{k=1}^{n}H_{k}^{\left(r-1\right)} & r\in\mathbb{N}\end{cases}\]
クロネッカーのデルタを含む総和
\[\sum_{j=0}^{n}\delta_{kj}=1-\sum_{j=0}^{k-1}\delta_{nj}\]
調和数の相反公式
\[H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}\]
調和数の2項係数展開
\[H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right)\]
調和数・一般化調和数の乗法公式
\[H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\]
調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)\]
調和数・一般化調和数の積分
\[\int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C\]
一般化調和数の特殊値
\[H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)\]
調和数の特殊値
\[H_{\frac{1}{2}}=2-2\log2\]
調和数と一般化調和数の拡張
\[H_{z,m}=\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,z+1\right)\]
調和数・一般化調和数を含む総和
\[\sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1}\]
調和数・一般化調和数の定義
\[H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}\]
ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係
\[\delta_{1,n}=\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)B_{n}\]
2項変換とオイラー数
\[a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k}\]\[b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k}\]
タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係
\[\begin{cases}T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0}\end{cases}\]
オイラー数の総和
\[\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(2n,2k\right)E_{2k}\]
オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
\[\cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k}\]