矩形関数の性質
\[\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\]
3角形関数の性質
\[\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)\]
のこぎり波の定義
\[f\left(x\right):=x\]
矩形波の定義
\[f\left(x\right):=\begin{cases}-1 & x<0\\0 & x=0\\1 & 0<x\end{cases}\]
矩形関数の定義
\[\mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases}1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2}<\left|x\right|\end{cases}\]
3角形関数の定義
\[\mathrm{tri}\left(x\right):=\max\left(1-\left|x\right|,0\right)\]
ディリクレ核の性質
\[\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)\]
ディリクレ核の定義と別表示
\[D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}\]
デルタ関数の色々な表現
\[\delta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk\]
デルタ関数の性質
\[\delta\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(x\right)\]
デルタ関数の定義
\[\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)\]
櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換
\[\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\]
櫛型関数の性質
\[\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)\]
櫛型関数の定義
\[\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)\]
交代順列とジグザグ数
\[\tan x+\cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k}\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
偶関数・奇関数の導関数
偶関数の導関数は奇関数になる。
偶関数・奇関数の和・積
\[\text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数}\]
関数の偶奇分解
\[f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)\]
偶関数・奇関数の定義
\[f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)\]
カントールの対関数の逆関数
\[\begin{cases}m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2}\end{cases}\]