共分散公式と分散公式
(1)共分散公式
\[ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \](2)分散公式
\[ V(X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \](1)
\begin{align*} Cov(X,Y) & =E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)\\ & =E(XY)-E\left(XE(Y)\right)-E\left(YE(X)\right)+E\left(E(X)E(Y)\right)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y) \end{align*}(2)
\begin{align*} V(X) & =E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)\\ & =E\left(X^{2}-2XE(X)+E^{2}(X)\right)\\ & =E\left(X^{2}\right)-2E^{2}(X)+E^{2}(X)\\ & =E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \end{align*}(2)-2
(1)で\(X=Y\)とすると、\[ Cov(X,X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \] となり、
\begin{align*} Cov(X,X) & =E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)\\ & =V(X) \end{align*} であるので、
\[ V(X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \]
ページ情報
| タイトル | 共分散公式と分散公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tgp7i56q/ |
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中心極限定理
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)
\]
マルコフの不等式
\[
P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon}
\]
期待値・分散・共分散などの定義
\[
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)dx
\]
期待値の基本的性質
\[
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
\]