共分散公式と分散公式
(1)共分散公式
\[ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \]
(2)分散公式
\[ V(X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \]
(1)
\begin{align*} Cov(X,Y) & =E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)\\ & =E(XY)-E\left(XE(Y)\right)-E\left(YE(X)\right)+E\left(E(X)E(Y)\right)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y) \end{align*}
(2)
\begin{align*} V(X) & =E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)\\ & =E\left(X^{2}-2XE(X)+E^{2}(X)\right)\\ & =E\left(X^{2}\right)-2E^{2}(X)+E^{2}(X)\\ & =E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \end{align*}
(2)-2
(1)で\(X=Y\)とすると、
\[ Cov(X,X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \]
となり、
\begin{align*} Cov(X,X) & =E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)\\ & =V(X) \end{align*}
であるので、
\[
V(X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)
\]
ページ情報
タイトル | 共分散公式と分散公式 |
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独立と無相関の定義
\[
P\left(X=x,Y=y\right)=P(X=x)P(Y=y)
\]
共分散の基本的性質
\[
Cov(X,aY)=aCov(X,Y)
\]
大数の法則
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0
\]
分散の基本的性質
\[
V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)
\]