共分散公式と分散公式
(1)共分散公式
\[ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \]
(2)分散公式
\[ V(X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \]
(1)
\begin{align*} Cov(X,Y) & =E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)\\ & =E(XY)-E\left(XE(Y)\right)-E\left(YE(X)\right)+E\left(E(X)E(Y)\right)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y) \end{align*}
(2)
\begin{align*} V(X) & =E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)\\ & =E\left(X^{2}-2XE(X)+E^{2}(X)\right)\\ & =E\left(X^{2}\right)-2E^{2}(X)+E^{2}(X)\\ & =E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \end{align*}
(2)-2
(1)で\(X=Y\)とすると、
\[ Cov(X,X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X) \]
となり、
\begin{align*} Cov(X,X) & =E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)\\ & =V(X) \end{align*}
であるので、
\[
V(X)=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)
\]
ページ情報
タイトル | 共分散公式と分散公式 |
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相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係
\[
\text{調和平均}\leq\text{相乗平均}\leq\text{相加平均}
\]
マルコフの不等式
\[
P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon}
\]
誤差関数・相補誤差関数・虚数誤差関数の定義
\[
erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt
\]
相関係数の基本的性質
\[
\rho(X,aY+b)=\rho(X,Y)
\]