フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[
\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}
\]
カテゴリー: フィボナッチ数
フィボナッチ数の負整数での値
\[
F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n}
\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[
F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}
\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[
\left(\begin{array}{cc}
F_{n+1} & F_{n}\\
F_{n} & F_{n-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]
フィボナッチ数列の商の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi
\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[
F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\}
\]
フィボナッチ数列と2項係数
\[
F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)
\]
フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。
フィボナッチ数列の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}
\]
フィボナッチ数列の定義
\[
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\]