フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}\]
フィボナッチ数の負整数での値
\[F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n}\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[\left(\begin{array}{cc}F_{n+1} & F_{n}\\F_{n} & F_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)^{n}\]
フィボナッチ数列の総和
\[\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1\]
フィボナッチ数列の商の極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \]