階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0
\]
カテゴリー: 階乗冪
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[
\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値
\[
P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分
\[
\frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\[
P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z)
\]
和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[
P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[
\sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[
P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[
P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)同士の関係
\[
P(x,y)=P^{-1}(x-y,-y)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
\[
P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!}
\]