上昇階乗・下降階乗の微分と極限
\[\frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\} \]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0\]
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値
\[ P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分
\[ \frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\} \]