ディガンマ関数の積分表示
\[\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}\]
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)\]
負の整数の階乗の商
\[\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}\]
ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数$\Gamma\left(z\right)$は$\Re\left(z\right)>0$で絶対収束
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質
\[\Gamma\left(1,x\right)=e^{-x}\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
\[\Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x}\]
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right)\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)\]
1次式の総乗と階乗
\[\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}\]
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}\]
偶数と奇数の2重階乗
\[\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\]
ガンマ関数を含む極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1\]
ガウスの乗法公式
\[\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)\]