多重対数関数同士の積の積分
\[\int\Li_{0}\left(z\right)\Li_{0}\left(z\right)dz=\frac{1}{1-z}+z-2\Li_{1}\left(z\right)+C\]
逆数の多重対数関数
\[\Li_{n}\left(\frac{1}{z}\right)=\left(-1\right)^{n+1}\Li_{n}\left(z\right)+\left(1+\left(-1\right)^{n}\right)\zeta\left(n\right)+\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor }\left\{ 2\zeta\left(2\left(k+1\right)\right)\frac{\Log^{n-2\left(k+1\right)}z}{\left(n-2\left(k+1\right)\right)!}\right\} +\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n}z}{n!}+\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n-1}z}{\left(n-1\right)!}\left(\Log\left(1-z\right)-\Log\left(z-1\right)\right)\]
多重対数関数の関係
\[\Li_{n}\left(z\right)+\Li_{n}\left(-z\right)=\frac{1}{2^{n-1}}\Li_{n}\left(z^{2}\right)\]
不完全ベータ関数の級数表示
\[B\left(z;\alpha,\beta\right)=z^{\alpha}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(k-\beta,k\right)}{\alpha+k}z^{k}\]
2項係数の総和その他
\[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C\left(k-n,k\right)}{k}=-H_{n-1}\]
2項係数の関係その他
\[C\left(\alpha,\beta\right)C\left(\beta,\gamma\right)=C\left(\alpha,\gamma\right)C\left(\alpha-\gamma,\beta-\gamma\right)\]
ゼータ関数の通常型母関数
\[\sum_{k=2}^{\infty}\zeta\left(k\right)z^{k}=-z\left(\psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\gamma\right)\]
ディガンマ関数の積分表示
\[\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)\]
不完全ベータ関数の性質
\[B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}\]
ベータ関数の特殊値
\[B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)\]
ベータ関数の対称性
\[B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)\]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)\]
超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
\[F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}\]
正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示
\[\int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C\]
3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示
\[\int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)\]
基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)\]
幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義
超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解
\[x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0\]
合流型超幾何微分方程式の解
\[xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}\]
上昇階乗・下降階乗の微分と極限
\[\frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\} \]