ガンマ関数 2024年3月27日 そのままだとΓ(0)になる積分 \[ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma \]
三角関数 2024年3月25日 正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示 \[ \tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \]
2項係数 2024年3月10日 2項係数の飛び飛びの総和 \[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l} \]
偶関数・奇関数 2024年2月29日 偶関数・奇関数の定積分 $f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
ガンマ関数 2024年1月27日 (*)ガンマ関数と複素数 \[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right) \]
ガンマ関数 2023年1月9日 ポリガンマ関数同士の差の極限 \[ \lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1} \]
2項係数 2022年10月21日 2項係数が0になるとき \[ \forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0 \]
階乗冪 2022年10月18日 階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき \[ \forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0 \]
2項係数 2022年10月8日 2項係数を含む総和 \[ \sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)} \]
2項係数 2022年10月5日 中央2項係数の値 \[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]
ガンマ関数 2022年9月29日 ガンマ関数の非正整数近傍での値 \[ \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \]
階乗冪 2022年9月26日 階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係 \[ \frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right) \]
ガンマ関数 2022年9月19日 負の整数の階乗の商 \[ \frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)} \]
指数積分・正弦積分・余弦積分 2022年8月6日 余弦積分の極限 \[ \lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases} \Log\alpha & x\rightarrow+0\\ \Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0 \end{cases} \]
2項係数 2022年7月23日 パスカルの法則の一般形 \[ C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right) \]
2項係数 2022年7月19日 パスカルの法則の応用 \[ C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right) \]
カントールの対関数 2022年7月17日 カントールの対関数の逆関数 \[ \begin{cases} m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\ n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2} \end{cases} \]
カントールの対関数 2022年7月12日 カントールの対関数の漸化式 \[ \pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases} \pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\ \pi\left(n+1,0\right) & m=0 \end{cases} \]
カントールの対関数 2022年7月8日 カントールの対関数の定義 \[ \pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n \]
ベータ関数 2022年4月12日 ベータ関数の絶対収束条件 ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束