期待値・分散・共分散などの定義
期待値・分散・共分散など
\(P\)を確率とする。
(1)期待値
確率変数\(X\)が離散であるとき、
\[ E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X=x_{i}) \]
確率変数\(X\)が連続であるとき、
\[
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)dx
\]
期待値を\(\mu_{X}\)で表すこともある。
(2)分散
\[ V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right) \]
分散を\(\sigma^{2}\quad,\quad\sigma_{XX}\)で表すこともある。
(3)共分散
\[ Cov(X,Y)=E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right) \]
共分散を\(\sigma_{XY}\text{で表すこともある。}\)
(4)標準偏差
\[ \sigma(X)=\sqrt{V(X)} \]
標準偏差を\(\sigma_{X}\)で表すこともある。
(5)相関係数
\[ \rho(X,Y)=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}} \]
相関係数を\(\rho_{XY}\)で表すこともある。
ページ情報
タイトル | 期待値・分散・共分散などの定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/uu4cne33/ |
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分散の基本的性質
\[
V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)
\]
相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義
\[
\mu_{A}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\]
独立と無相関の関係
\[
\text{独立}\Rightarrow\text{無相関}
\]
中心極限定理
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)
\]