ゼータ関数の通常型母関数
\[\sum_{k=2}^{\infty}\zeta\left(k\right)z^{k}=-z\left(\psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\gamma\right)\]
リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)
\[\zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right)\]
リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
\[\zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1}\]
リーマン・ゼータ関数の微分の極限
\[\lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n!\]
リーマン・ゼータ関数の定義
\[\zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)\]
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma\]
ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数$\zeta\left(s\right)$は$\Re\left(s\right)>1$で絶対収束
(*)フルヴィッツの公式
\[\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\} \]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
\[\zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}\]
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}\]
ゼータ関数の交代級数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2}\]
ζ(4k)の総和
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi\]
偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1\]
偶数ゼータの通常型母関数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)\]