パスカルの法則
パスカルの法則
(1)パスカルの法則
\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y) \]
(2)パスカルの法則の差
\[ C\left(x-1,y\right)-C\left(x-1,y-1\right)=\frac{x-2y}{x}C\left(x,y\right) \]
(1)
\begin{align*} C(x+1,y+1) & =\frac{(x+1)!}{(y+1)!(x-y)!}\\ & =\frac{x+1}{y+1}\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =\left(\frac{x-y}{y+1}+1\right)\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =\frac{x!}{(y+1)!(x-y-1)!}+\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =C(x,y+1)+C(x,y) \end{align*}
(2)
\begin{align*} C\left(x-1,y\right)-C\left(x-1,y-1\right) & =\frac{x-y}{x}C\left(x,y\right)-\frac{y}{x}C\left(x,y\right)\\ & =\frac{x-2y}{x}C\left(x,y\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | パスカルの法則 |
URL | https://www.nomuramath.com/bwlu1blq/ |
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2項係数の2乗和
\[
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)
\]
パスカルの法則の応用
\[
C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)
\]
2項係数の特殊な積
\[
C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)
\]
2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]