パスカルの法則
パスカルの法則
\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y) \]
\begin{align*} C(x+1,y+1) & =\frac{(x+1)!}{(y+1)!(x-y)!}\\ & =\frac{x+1}{y+1}\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =\left(\frac{x-y}{y+1}+1\right)\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =\frac{x!}{(y+1)!(x-y-1)!}+\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =C(x,y+1)+C(x,y) \end{align*}
ページ情報
タイトル | パスカルの法則 |
URL | https://www.nomuramath.com/bwlu1blq/ |
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- 2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e} \]
- ディクソンの等式\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!} \]
- 2項変換と交代2項変換の逆変換\[ a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k} \]
- 中央2項係数\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m) \]
- ファンデルモンドの畳み込み定理\[ \sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k) \]