基本的な関数のフーリエ変換
\[\mathcal{F}_{1,x}\left[x^{n}\right]\left(\xi\right)=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n}\delta^{\left(n\right)}\left(\xi\right)\]
ポアソン和公式
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right)\]
偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換
\[\mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\]
フーリエ変換でのパーセバルの等式
\[\int_{-\infty}^{\infty}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{F\left(\xi\right)}G\left(\xi\right)d\xi\]
フーリエ変換の性質
\[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\]
フーリエ変換の定義による違い
\[\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)\]
フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
\[\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\]