2項係数の特殊な積
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\begin{align*}
C(x,t)C(t,y) & =\frac{x!}{t!(x-t)!}\frac{t!}{y!(t-y)!}\\
& =\frac{x!}{y!(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-t)!(t-y)!}\\
& =C(x,y)C(x-y,x-t)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の特殊な積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/io58wa0k/ |
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パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
2項係数の飛び飛びの総和
\[
\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]