2項係数の特殊な積
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\begin{align*}
C(x,t)C(t,y) & =\frac{x!}{t!(x-t)!}\frac{t!}{y!(t-y)!}\\
& =\frac{x!}{y!(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-t)!(t-y)!}\\
& =C(x,y)C(x-y,x-t)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の特殊な積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/io58wa0k/ |
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2項係数の1項間漸化式
\[
C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
2項係数の逆数の差分
\[
C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)
\]