2項係数の特殊な積
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\begin{align*} C(x,t)C(t,y) & =\frac{x!}{t!(x-t)!}\frac{t!}{y!(t-y)!}\\ & =\frac{x!}{y!(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-t)!(t-y)!}\\ & =C(x,y)C(x-y,x-t) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 2項係数の特殊な積 |
URL | https://www.nomuramath.com/io58wa0k/ |
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- 2項係数の微分\[ \frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right) \]
- 2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e} \]
- 2項変換と交代2項変換の逆変換\[ a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k} \]
- 2項係数の母関数\[ \sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)} \]