点と集合との分離の定義と性質
位相的に識別可能の定義
T3・T4空間の同値な条件
T1空間と同値な条件
T1空間と単集合が閉集合は同値となる。
有限位相での分離公理(離散・距離・T4・T3・T2・T1・T0)同士の関係
T2・T1・T0空間同士の関係
T0・T1・T2・T3・T4空間の部分位相
(*)分離公理(距離・正規・正則・T2・T1・T0・その他)同士の関係
\[\text{距離空間}\Rightarrow\text{正規空間}\Rightarrow\text{正則空間}\Rightarrow T_{2}\text{空間}\Rightarrow T_{1}\text{空間}\Rightarrow T_{0}\text{空間}\]
分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則・正規・その他)の定義
補有限位相はT1空間となる一番弱い位相
補有限位相は可分
補有限位相の第1可算性・第2可算性
実数の補有限位相と分離公理(T1・T2)
実数の補有限位相は弧状連結・連結
無限補有限位相の連結性・弧状連結性
有限補有限位相は離散位相
\[\left|X\right|<\infty\leftrightarrow\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)=\left(X,2^{X}\right)\]
無限補有限位相の分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
無限補有限位相では空集合でない開集合は互いに交わる
実数では補有限位相は通常位相より弱い
\[\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\]
補有限位相の定義
\[\mathcal{O}_{c}=\left\{ A\subseteq X;\left|A^{c}\right|<\infty\right\} \land\left\{ \emptyset\right\} \]
積位相(直積位相)と直積空間の定義と性質
包含写像・射影・商写像は連続写像
有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結