ディクソンの等式
ディクソンの等式
\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!} \]
(2)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}} \]
(1)
略
(2)
(1)で\(a=b=c\)とおくと、
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}}
\]
となるので与式は成り立つ。
ページ情報
タイトル | ディクソンの等式 |
URL | https://www.nomuramath.com/kga8k4q6/ |
SNSボタン |
- 2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e} \]
- 2項係数の1項間漸化式\[ C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y) \]
- 2項係数の母関数\[ \sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)} \]
- パスカルの法則\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y) \]
- 2項係数の総和\[ \sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m} \]