ディクソンの等式
ディクソンの等式
\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!} \]
(2)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}} \]
(1)
略
(2)
(1)で\(a=b=c\)とおくと、
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}}
\]
となるので与式は成り立つ。
ページ情報
タイトル | ディクソンの等式 |
URL | https://www.nomuramath.com/kga8k4q6/ |
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2項変換と交代2項変換の逆変換
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}
\]
2項係数の半分までの総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]