連結・非連結

\[\begin{cases}A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\} \end{cases}\]

弧状連結ならば連結。

連結であれば閉包も連結になる。

連結・弧状連結な部分集合の連続写像による像は連結・弧状連結となる。

非連結であることと、空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合となる集合が存在することは同値。

\[\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset\]